يك قطرهآب مثل منشورعمل كرده ونور سفیدرا تجزیه مي‌كند، رنگين كمان بزرگي که کمی بعد از باران مي‌بينيم باهزاران قطره آب درست مي‌شود. رنه دكارت را به عنوان اولين كسيكه اين پديده رابه طوردقيق مورد توجه قرارداده وسعي كرده آنرا با اصول اپتيكي توجيه كند، می شناسندكه نتايج مشاهداتش رادرسال١٦٣٧ميلادي منتشركرد.

 شکست و انعکاس

یک قطره‌ی کروی آب که با پرتوهای نور خورشید روشن شده را در نظر بگیرید. بعضی از پرتو های نور از سطح خارجی قطره منعکس می شود (شکل1 الف). و بقیه به داخل قطره شکست پیدا خواهد کرد و بیشتر آن به خارج قطره شکست پیدا میکند. (شکل1 ب). بخشی از نور وارد شده به قطره در مرز داخل قطره منعکس شده در ادامه ی مسیر با شکست خارج میشود. (شکل 1پ). نور خروجی در این نقطه منبع روشنایی است که اغلب به صورت رنگین کمان، البته رنگین کمان اولیه در آسمان دیده میشود.

شكل (10)پرتو نور در برخورد با يك قطره آب

نور میتواند قبل از خارج شدن بعد از یک انعکاس داخلی دیگر از قطره خارج شود این نور عامل ایجاد رنگین کمان ثانویه است که می توان در طبیعت مشاهده کرد. البته این فرایند در اینجا متوقف نمی شود. به صورت نظری سهم کوچک و کوچکتری از نور تحت هر تعداد از انعکاس های داخلی شکست می یابد و با ابزار دقیق بیش از 15 رنگین کمان را میتوان دید. در طبیعت به سبب شدت نور زمینه فقط اولین دو انعکاس قابل دیدن هستند. در آزمایشگاه شما قادر خواهید بود به راحتی تا 4 رنگین کمان را ببینید.

شكل (11)نموداری تقریبی از پرتو هایی که رنگین کمانهای مرتبه اول تا سوم را می‌سازنند. پرتویی که با k=1 معرفی شده رنگین کمان اولیه، پرتویی که با k=2 مشخص شده رنگین کمان ثانویه و پرتویی که با k=3 مشخص شده رنگین کمان سوم را ایجاد می‌کند. خطوط قطب نما در مر کز شکل مقدار انحراف پرتوها را نسبت به امتداد اولیه مشخص می‌کند.

شکل(11): نموداری تقریبی از پرتو هایی که رنگین کمانهای مرتبه اول تا سوم را می‌سازنند. پرتویی که با k=1 معرفی شده رنگین کمان اولیه، پرتویی که با k=2 مشخص شده رنگین کمان ثانویه و پرتویی که با k=3 مشخص شده رنگین کمان سوم را ایجاد می‌کند. خطوط قطب نما در مر کز شکل مقدار انحراف پرتوها را نسبت به امتداد اولیه مشخص می‌کند.

سهم دکارت در نظریه رنگین کمان تعیین "زاویه رنگین کمان" است زاویه ای که رنگین کمان های مختلف از قطره نسبت به نور خورشید فرودی بیرون میآیند. زاویه نور فرودی خورشید، i زاویه ای است که نور خورشید فرودیبا مرز قطره میسازد.

(شکل 12ب). دکارت به درستی استدلال کرد که زاویه رنگین کمان، زاویه ای است که نور خروجی بیشترین شدت را دارد. شدت پدیدار شده در اطراف پرتویی بیشترین است که کمترین انحراف به وسیله ی قطره، نسبت به جهت نورخورشید فرودی درآن ایجاد میشود ( شکل 12 الف)

شكل (12)زوايا در انعكاس نور

برای یافتن زاویه رنگین کمان با محاسبه ی θ، زاویه ای که نور خروجی از قطره نسبت به i به صورت تابعی از i شروع میکنیم. (شکل2 ب) وقتی که نور با زاویه فرودی i وارد می شود پرتو نور به اندازه i-r منحرف می شود در جایی که r وi به وسیله ی قانون اسنل به هم وابسته میشوند.

     (1)            

یک انعکاس داخلی باعث می شود که نور به اندازه ی زاویه ی r2-180 منحرف شود و در نهایت موقع خروج به اندازه ی زاویه ی i-r منحرف میشود. بنابراین انحراف کلی یک پرتو با یک بار انعکاس داخلی برابر است با:

         (2)

با استفاده از معادله 1، r را برحسب i به دست می آوریم:

(3)

با تقریب خوبی ضریب شکست هوا n_a=1 است. با جاگذاری معادله 3 در معادله 2 به دست میآوریم:

(4)

اعتبار استدلال دکارت که نور حول پرتویی که کمترین انحراف را بیشترین شدت را دارد، با رسم معادله 4 برحسب i مشخص میشود زیرا با تغییر i در زاویه ی خاصی، کمترین تغییر در θ ایجاد می شود.

شکل(13): پرتونوري كه راستاي آن از مركز قطره مي گذرد، بدون شكست وارد آن شده ودرسوي ديگر بازتابيده مي شودو روي همان مسير ورودي به بيرون برمي‌گردد. به عبارت ديگر پرتو به وسيله قطره  ١٨٠درجه تغييرجهت مي‌دهد، درمقابل اگر پرتونورمماس بر قطره به آن بتابد، مي‌توان دید كه هنگام ورود به بيشترين ميزان ممكن مي‌شكند وپرتو خروجي باپرتو ورودي زاويه حدود ١٦٥درجه مي‌سازد، دربين اين دو وضعيت حدي، زاويه انحراف (زاويه بين پرتوخروجي و ورودي) از١٨٠درجه كاهش مي‌يابد به مقدار كمينه١٣٨ درجه مي‌رسد وسپس دوباره تا١٦٥ درجه بالامي‌رود، اما چون دراطراف مقداركمينه، تغيير زاويه كمينه است، بخش بزرگي ازنورفرودي، درحول وحوش اين زاويه١٣٨ درجه ازقطره خارج ميشود. به عبارت ديگر، شدت نور خروجي درتمام زوايا يكسان نيست و بيشترنور رنگين يكه ازقطره بيرون ميرود، باجهت تابش خورشيد، زاويه حدود١٣٨درجه يامعادل آن٤٢درجه ميسازد. البته اين زاويه، بستگي به رنگ پرتودارد و بين٤٠تا٤٢ درجه برايرنگهاي قرمزتا بنفش متفاوت است.

برای یافتن کمینه‌ی معادله 4، یعنی کوچکترین مقدار θ نسبت به i مشتق میگیریم و برابر صفر قرار می دهیم:   

     (5)

بعد از ساده سازی، θ با رابطه‌ی زیر مشخص می شود:

سرانجام برای یافتن زاویه رنگین کمان اولیه، _primθ آن را برحسب i حل می‌کنیم و در معادله 2 قرار می‌دهیم. به دست می‌آوریم:

(7)    

با استفاده از ضریب شکست نور قرمز در آب 331/1n_w= و i ، 5/59 درجه به دست می‌آید و _primθ برابراست با:

     (8)

البته زاویه رنگین کمان نسبت به سطح افق یعنی آن زاویه‌ای که به عنوان زاویه رنگین کمان می‌شناسیم با کم کردن زاویه بالا از 180 به دست می‌آید که در اینجا برای نور قرمز مقدار 4/42 درجه به دست آمده است.

1- بند هشتن، نسخه ی انکساریا ، فصل XXIE فقره‌ی 5، ص 179

2-    http://www.t-z-a.com/Aein/Tirgan.htm

3- جرج سارتن، مقدمه‌ای بر تاریخ علم جلد دوم‌، بخش دوم، ص 2258

4- تاریخ علم در ایران، تألیف دکتر مهدی فرشاد، انتشارات امیرکبیر، تهران 1365 جلداول صفحه‌ی 426

5- Sameen Ahmed Khan, "Arab Origins of teh Discovery of the Refraction of Light", in Optics and Photonics News, October 2007, pp. 22-23

6- نیر نوری، سهم ایران در تمدن جهان، ص 393 به نقل از مقاله‌ی مصطفوی در دنیای علم (جلال مصطفوی مجله دنیای علم، سال اول شماره 4و5 مهر و آبان 1336 ص 10 تا 17